夹逼定理(也称为夹紧定理或挤压定理)是微积分中的一个基本定理,它用于证明极限的存在性及计算等问题。 设函数 $f(x),g(x),h(x)$ 满足以下条件: 在某个区间 $(a,b)$ 内定义; 对于所有的 $x\in(a,b)$,有 $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$。 如果 $...

格林第一公式是格林公式的一种特殊情形,它描述了平面区域内一个向量场的散度和曲线积分之间的关系。其公式如下: 设 $D$ 是平面上一个紧致区域,$C$ 是 $D$ 的边界,$P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 是 $D$ 内的连续偏导数函数,则有: $$\oint_C \mathbf{F}\cdot...

罗尔定理是微积分中的一个基本定理,它是中值定理的特殊情况。 具体来说,设函数 $f(x)$ 满足以下三个条件: 在闭区间 $[a,b]$ 内连续; 在开区间 $(a,b)$ 内可导; $f(a)=f(b)$。 则在开区间 $(a,b)$ 内,至少存在一点 $c\in(a,b)$,使得 $f'(c)=...

微积分基本定理是微积分学中的重要定理之一,它将微积分中的微分和积分联系了起来。 第一部分是微积分中的牛顿-莱布尼茨公式,也称为第一基本定理,它表明如果一个函数f(x)在区间[a,b]上是可积的,那么它在这个区间上的定积分可以通过在这个区间上求f(x)的一个原函数F(x),然后用F(b)-F(a)计算...

洛必达法则(L'Hôpital's Rule)是微积分中一个非常有用的法则,用于计算具有不定型(indeterminate forms)的极限。不定型指的是在求极限过程中,数值形式上无法直接确定,例如 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$。 洛必...

柯西中值定理是微积分中的一个重要定理,它是拉格朗日中值定理的推广。柯西中值定理的一般形式如下: 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,在开区间 $(a,b)$ 内可导,且 $g'(x) \neq 0$,则存在 $\xi \in (a,b)$,使得 $\frac{f(b...

格林第二公式也是格林公式的一种特殊情形,它描述了平面区域内一个向量场的旋度和曲线积分之间的关系。其公式如下: 设 $D$ 是平面上一个紧致区域,$C$ 是 $D$ 的边界,$P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 是 $D$ 内的连续二阶偏导数函数,则有: $$\oint_C (P\mathrm{d}...

罗尔中值定理是微积分学中的一个重要定理,它是导数存在的一个必要条件。它的表述如下: 设函数 $f(x)$ 满足以下条件: 在闭区间 $[a,b]$ 上连续; 在开区间 $(a,b)$ 内可导; $f(a) = f(b)$。 则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$,使得 $f'(c) = 0$。...

积分中值定理是微积分中的一个基本定理,它与中值定理紧密相关,常用于证明其他数学定理以及计算积分。 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,则在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $c$,使得 $$\int_a^b f(x) \,dx = f(c) \cdot (b-a)$$ 其中,$f...

$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$$

分部积分公式是微积分中的一种常用积分方法,用于求解由两个函数的乘积组成的积分。 其中 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个可导函数,$u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别是它们的导数。 使用分部积分公式时,首先需要选择一个函数作为 $u(x)$,另一个函数的导数作为 $v'(x)$。接着,将上述...

求导公式是微积分中的基本公式,用于求函数的导数。以下是常见的求导公式: 常数函数求导公式: $$\frac{d}{dx}(c)=0$$ 其中,$c$ 为常数。 幂函数求导公式: $$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$$ 其中,$n$ 为任意实数。 指数函数求导公式: $$\fra...

圆是平面上的一条封闭曲线,它的每个点到圆心的距离都相等。圆的面积公式可以通过对圆进行分割和近似计算得出,其中最常见的方法是使用微积分中的积分。 假设圆的半径为 $r$,我们可以将圆分割成许多细小的扇形,每个扇形的面积可以表示为: $$dA = \dfrac{1}{2}r^2d\theta$$ 其中 ...

微分是微积分中的一个重要概念,表示函数在某一点处的瞬时变化率。微分的公式如下: 设 $y=f(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的函数,若 $x_0$ 是 $I$ 的一个内点,且 $\Delta x=x-x_0$,则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分为: $$\mathrm{d}y=f'(x_...

微分中值定理是微积分中的基本定理之一,它是介于拉格朗日中值定理和柯西中值定理之间的一个定理。 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续,且在区间 $(a,b)$ 内可导,则存在一个 $\xi\in(a,b)$,使得 $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 其...

在微积分中,我们经常需要处理一些无穷小量的极限,而等价无穷小替换公式就是用来简化这类极限计算的一种方法。 等价无穷小替换公式的一般形式如下: 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是在某点 $x_0$ 的某个邻域内定义的两个函数,且当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时,$f(x)$ 和 $g(x)$ 满...

微积分是数学中的一个重要分支,主要研究函数、极限、导数、积分等概念和它们之间的关系。 下面列出一些微积分中常用的公式: 极限的定义:$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ 极限的运算法则: 四则运算法则:设$\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$,$\lim\lim...

导数公式: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ 积分公式: $$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Del...

格林公式是微积分中的一个重要定理,它描述了平面区域内一个向量场的旋度和散度之间的关系。其公式如下: 设 $D$ 是平面上一个紧致区域,$C$ 是 $D$ 的边界,$P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 是 $D$ 内的连续偏导数函数,则有: $$\oint_C P\mathrm{d}x+Q\math...

中值定理是微积分中的一个重要定理,它表明对于一定条件下的连续可导函数,存在某个点使得该点的斜率等于函数在两个端点处的斜率的平均值。中值定理有以下两种形式: 1、罗尔中值定理:若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,在开区间 $(a,b)$ 内可导,且 $f(a)=f(b)$,则存在 $\...

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

泰勒公式是一种将一个函数在某个点附近用多项式来近似表示的方法,它是微积分中的重要工具之一。 其中,$f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数,$n!$ 表示 $n$ 的阶乘。...