柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广。柯西中值定理的一般形式如下：
若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。
柯西中值定理的意义是，对于一定条件下的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，在区间 $(a,b)$ 内存在某个点 $\xi$，使得函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在该点的斜率相等，即 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 与 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ 相等。这个定理在实际应用中经常用于证明一些定理，如洛必达法则等。