夹逼定理(也称为夹紧定理或挤压定理)是微积分中的一个基本定理,它用于证明极限的存在性及计算等问题。 设函数 $f(x),g(x),h(x)$ 满足以下条件: 在某个区间 $(a,b)$ 内定义; 对于所有的 $x\in(a,b)$,有 $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$。 如果 $...

以下是一些常用的三角函数积分公式: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ 该公式表示对正弦函数进行积分,其结果为负的余弦函数加上常数项。 $\int \cos x dx = \sin x + C$ 该公式表示对余弦函数进行积分,其结果为正的正弦函数加上常数项。 $\int \...

罗尔定理是微积分中的一个基本定理,它是中值定理的特殊情况。 具体来说,设函数 $f(x)$ 满足以下三个条件: 在闭区间 $[a,b]$ 内连续; 在开区间 $(a,b)$ 内可导; $f(a)=f(b)$。 则在开区间 $(a,b)$ 内,至少存在一点 $c\in(a,b)$,使得 $f'(c)=...

微积分基本定理是微积分学中的重要定理之一,它将微积分中的微分和积分联系了起来。 第一部分是微积分中的牛顿-莱布尼茨公式,也称为第一基本定理,它表明如果一个函数f(x)在区间[a,b]上是可积的,那么它在这个区间上的定积分可以通过在这个区间上求f(x)的一个原函数F(x),然后用F(b)-F(a)计算...

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$$

卷积公式是指两个函数在某个区间上的积分,用来描述两个信号之间的关系。 其中,$f$ 和 $g$ 为两个函数,$*$ 表示卷积操作,$t$ 为积分变量,$\tau$ 为积分下限变量。...

惯性矩是刻画刚体对转动的惯性大小的物理量,可以用来描述刚体的形状和分布情况。惯性矩的计算涉及到刚体的质量分布和旋转轴的位置,通常需要使用积分的方法来求解。以下是一些常见的惯性矩公式: 关于横轴对称的刚体 如果刚体相对于横轴对称,那么沿着该轴的惯性矩为: $$I_x = \int \int_{\tex...

格林公式(Green's theorem)是一个与向量场和曲线积分有关的重要公式,它将曲线积分与双重积分联系起来。在平面上,格林公式的形式为: $$\oint_C (P,dx + Q,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{...

洛必达法则(L'Hôpital's Rule)是微积分中一个非常有用的法则,用于计算具有不定型(indeterminate forms)的极限。不定型指的是在求极限过程中,数值形式上无法直接确定,例如 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$。 洛必...

$\int k dx = kx + C$ (常数函数的积分) $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ (幂函数的积分) $\int e^x dx = e^x + C$ (指数函数的积分) $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C...

罗尔中值定理是微积分学中的一个重要定理,它是导数存在的一个必要条件。它的表述如下: 设函数 $f(x)$ 满足以下条件: 在闭区间 $[a,b]$ 上连续; 在开区间 $(a,b)$ 内可导; $f(a) = f(b)$。 则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$,使得 $f'(c) = 0$。...

积分中值定理是微积分中的一个基本定理,它与中值定理紧密相关,常用于证明其他数学定理以及计算积分。 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,则在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $c$,使得 $$\int_a^b f(x) \,dx = f(c) \cdot (b-a)$$ 其中,$f...

$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$$

分部积分公式是微积分中的一种常用积分方法,用于求解由两个函数的乘积组成的积分。 其中 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个可导函数,$u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别是它们的导数。 使用分部积分公式时,首先需要选择一个函数作为 $u(x)$,另一个函数的导数作为 $v'(x)$。接着,将上述...

圆是平面上的一条封闭曲线,它的每个点到圆心的距离都相等。圆的面积公式可以通过对圆进行分割和近似计算得出,其中最常见的方法是使用微积分中的积分。 假设圆的半径为 $r$,我们可以将圆分割成许多细小的扇形,每个扇形的面积可以表示为: $$dA = \dfrac{1}{2}r^2d\theta$$ 其中 ...

微分中值定理是微积分中的基本定理之一,它是介于拉格朗日中值定理和柯西中值定理之间的一个定理。 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续,且在区间 $(a,b)$ 内可导,则存在一个 $\xi\in(a,b)$,使得 $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 其...

微积分是数学中的一个重要分支,主要研究函数、极限、导数、积分等概念和它们之间的关系。 下面列出一些微积分中常用的公式: 极限的定义:$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ 极限的运算法则: 四则运算法则:设$\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$,$\lim\lim...

导数公式: $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ 积分公式: $$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Del...

常见的不定积分公式如下: $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$,其中 $C$ 为常数,$n \neq -1$。 $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$,其中 $C$ 为常数。 $\int e^x dx = e^x + C$,其...

$$ Q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) dt $$

电量是电力的时间积分,即电量Q等于电流I在时间t内的积分。 其中,Q的单位是库仑(C),电流I的单位是安培(A),时间t的单位是秒(s)。...

这里列举一些基本的积分公式: 基本积分公式 $$\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C,\quad (n\neq -1)$$ $$\int \frac{1}{x}dx = \ln |x|+C$$ $$\int e^xdx = e^x+C$$ $$\int \sin x...

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积,记 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,x]$ 上的一个原函数,则有: $$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$$ 其中,$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数,$a$ 和 $b$ ...