赫尔德不等式（Hölder's inequality）是一种用于计算多个非负实数的乘积的不等式。设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是 $2n$ 个非负实数，并且满足 $p,q > 1$，以及 $\frac{1}{p} + \fra...
杨氏不等式（Young's inequality）是一种用于计算两个非负实数的乘积的不等式。对于任意的实数 $a,b \geq 0$，以及任意的 $p,q > 0$，满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则杨氏不等式可以表示为： $$ab \leq \frac{...
琴声不等式（Chernoff bound）是概率论中一个经典的不等式，它给出了一组独立随机变量的和超出其期望值的概率的一个上界。具体来说，设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是 $n$ 个独立的随机变量，且对于每个 $i$，$X_i$ 取值在 $[0,1]$ 区间内。设 $S = X_...
卡尔松不等式（Karlsson's inequality）是一种用于计算一组数的平方和的不等式。对于 $n$ 个非负实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，卡尔松不等式可以表示为： $$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(1^2 + 1^2 + \cdots...
柯西不等式（Cauchy inequality）是一种基本的数学不等式，它描述了两个向量之间内积的上界。它可以表示为： 设 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 是 $n$ 个实数，则有： $$(x_1^2 + x_2^2 + \cdots ...
排序不等式是一类重要的数学不等式，它们基于排序的思想，用于比较一组数的大小关系。 其中最基本的排序不等式是如下的单调不等式： 如果 $a_1\leq a_2\leq \cdots\leq a_n$，$b_1\leq b_2\leq \cdots\leq b_n$，则有： $a_1b_1+a_2b_2...
权方和不等式（Cauchy-Schwarz不等式）是数学中的一个重要不等式，它可以用来证明许多重要的数学定理。该不等式的一般形式如下： 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是 $n$ 个实数，则有： $$(a_1^2+a_2^2+\cdots+...
塞尔伯格迹公式是一个表示矩阵的迹的公式，形式如下： $$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i$$ 其中 $\operatorname{tr}(A)$ 表示矩阵 $A$ 的迹，即矩阵对角线上元素的和，$\lambda_i$ 表示矩阵 $A$ 的第 ...
阿基米德中点定理（Archimedes' midpoint theorem）是一条几何定理，描述了三角形中线和中点的关系。具体地说，它指出，如果 $ABC$ 是一个三角形，$D$ 和 $E$ 分别是 $AB$ 和 $AC$ 的中点，那么 $DE$ 与 $BC$ 的交点 $F$ 将 $BC$ 分成两个...
布朗定理（Brownian motion）也称为布朗运动，是概率论中的一种随机过程。它是描述微观粒子在流体中的运动行为的数学模型。具体地说，布朗定理指出，当一个微观粒子在流体中运动时，其位置的变化遵循一种随机游走的模式，即在极短的时间内，微观粒子的位置发生微小的随机扰动。这种随机扰动是由于流体中分子...