柯西不等式（Cauchy inequality）是一种基本的数学不等式，它描述了两个向量之间内积的上界。它可以表示为：
设 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 是 $n$ 个实数，则有：
$$(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n)^2$$
其中等号成立当且仅当向量 $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 和 $\vec{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ 是线性相关的。
柯西不等式可以用来证明其他数学定理，如柯西-施瓦茨不等式、三角不等式等等。在概率论、统计学、信号处理等领域中，柯西不等式也有广泛的应用。