赫尔德不等式（Hölder's inequality）是一种用于计算多个非负实数的乘积的不等式。设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是 $2n$ 个非负实数，并且满足 $p,q > 1$，以及 $\frac{1}{p} + \fra...
伯努利不等式（Bernoulli's inequality）是一种用于计算幂次方的不等式。设 $x$ 是一个实数，且 $n$ 是一个正整数，则伯努利不等式可以表示为： $$(1+x)^n \geq 1 + nx$$ 等号成立当且仅当 $x=0$ 或 $n=1$。 伯努利不等式是一种基本的不等式，在各...
闵可夫斯基不等式（Minkowski's inequality）是一种用于计算多个实数的和的不等式。设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是 $2n$ 个实数，则闵可夫斯基不等式可以表示为： $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i...
杨氏不等式（Young's inequality）是一种用于计算两个非负实数的乘积的不等式。对于任意的实数 $a,b \geq 0$，以及任意的 $p,q > 0$，满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则杨氏不等式可以表示为： $$ab \leq \frac{...
韦东奕不等式是一个数学不等式，由韦东奕在数学领域上做出过很大的成就而得名。 这个不等式可以表示为：an+bn≥cn（其中n为大于1的整数），它是基于 Jacobi 椭圆函数的变化而来的。 韦东奕是一位非常杰出的数学家，他的不等式曾经为我国解决过航天航空上棘手的难题（流动力学方程），他也是&ld...
绝对值不等式的解法可以分为以下几种情况： 1、绝对值小于一个常数的不等式：对于形如 $|ax + b| < c$ 的不等式，可以分为两种情况求解。 当 $ax + b > 0$ 时，解为 $-c < ax + b < c$，即 $\frac{-b - c}{a} < x...
分式不等式的解法可以分为以下几种情况： 1、分母不为零的分式不等式： 对于形如 $\frac{N(x)}{D(x)} < 0$ 或 $\frac{N(x)}{D(x)} > 0$ 的不等式，其中 $N(x)$ 和 $D(x)$ 分别是关于 $x$ 的多项式。 首先，找出 $D(x)$ 的...
Jensen不等式（Jensen's inequality）是一个在数学分析和概率论中常用的不等式，由丹麦数学家约翰·Jensen（Johannes Jensen）于1906年提出。 Jensen不等式描述了凸函数的性质，它说明了在凸函数上的一组点的函数均值不会超过函数值的凸组合。具体...
贝尔不等式（Bell's inequality）是由物理学家约翰·贝尔（John Bell）于1964年提出的一个不等式，用于检验量子力学与局域实在论之间的矛盾。 贝尔不等式涉及到隐变量理论、局域性和量子纠缠等概念。简单来说，贝尔不等式通过对一对处于纠缠状态的粒子进行测量，将其结果与基...
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式是关于 Sobolev 空间的一种不等式，它是 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式的一个推广。设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个开集，$1<p,q<n$，$0<\alp...
三角不等式是数学中的一个基本定理，其公式如下： 对于任意实数 $a, b, c$，有以下不等式成立： $$|a+b| \leq |a|+|b|$$ $$|a-b| \leq |a|+|b|$$ $$|a+b+c| \leq |a|+|b|+|c|$$ 以此类推，即对于任意 $n$ 个实数 $a_1,...
切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）是概率论中的一个重要不等式，它给出了一个随机变量与其均值的偏离程度的上界。 具体来说，对于任意一个正数k，对于具有有限方差的随机变量X，切比雪夫不等式给出了以下不等式关系： P(|X - μ| ≥ kσ) ≤...
权方和不等式（Cauchy-Schwarz不等式）是数学中的一个重要不等式，它可以用来证明许多重要的数学定理。该不等式的一般形式如下： 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是 $n$ 个实数，则有： $$(a_1^2+a_2^2+\cdots+...
琴声不等式（Chernoff bound）是概率论中一个经典的不等式，它给出了一组独立随机变量的和超出其期望值的概率的一个上界。具体来说，设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是 $n$ 个独立的随机变量，且对于每个 $i$，$X_i$ 取值在 $[0,1]$ 区间内。设 $S = X_...
排序不等式是一类重要的数学不等式，它们基于排序的思想，用于比较一组数的大小关系。 其中最基本的排序不等式是如下的单调不等式： 如果 $a_1\leq a_2\leq \cdots\leq a_n$，$b_1\leq b_2\leq \cdots\leq b_n$，则有： $a_1b_1+a_2b_2...
Cirtoaje不等式，是由罗马尼亚数学家韦东奕（Vasile Cirtoaje）提出的一类不等式。 Cirtoaje不等式给出了一种关于正实数的加权平均不等式，通常用于证明其他更复杂的不等式。 它的一般形式如下： 对于正实数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 和正实数 $k_1, k...
柯西-施瓦茨不等式是高等数学中比较基础的不等式之一，它是由物理学家柯西和数学家施瓦茨分别独立发现的。柯西-施瓦茨不等式可以用于证明一些数学定理，例如在线性代数中矩阵内积的范数不等式等。 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）是柯西不等式的一个推广，它描述了两个向量之...
基本不等式是一种关于平均值与均方差的不等式，用于描述非负实数之间的大小关系。其公式如下： 对于任意非负实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，有 $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geqslant \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^...
单调不等式是指不等式中的变量与不等号的关系随着变量的增加或减少而保持一致的不等式。具体来说，如果一个不等式对于所有满足某种条件的变量都成立，并且当变量增加时不等式方向保持不变或者当变量减少时不等式方向保持不变，那么这个不等式就是单调不等式。 常见的单调不等式包括： 单调递增不等式：当变量增加时，不等...
不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。具体的解集取决于不等式的形式和条件。 以下是几种常见不等式及其解集的示例： 线性不等式：形式为ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b为实数，x为变量。解集可以表示为一个区间，例如解集为(-∞, x1) &cu...