阿基米德中点定理（Archimedes' midpoint theorem）是一条几何定理，描述了三角形中线和中点的关系。具体地说，它指出，如果 $ABC$ 是一个三角形，$D$ 和 $E$ 分别是 $AB$ 和 $AC$ 的中点，那么 $DE$ 与 $BC$ 的交点 $F$ 将 $BC$ 分成两个相等的线段，即 $BF = FC$。
可以用向量运算来证明这个定理。假设向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 分别表示 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$，那么 $\vec{d}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ 和 $\vec{e}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$ 分别表示 $D$ 和 $E$ 的位置向量。设 $\vec{f}$ 表示 $F$ 的位置向量，则有：
$$\vec{f}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}+\lambda(\vec{d}-\vec{e})$$
其中 $\lambda$ 是一个实数。由于 $\vec{d}$ 和 $\vec{e}$ 分别在 $AB$ 和 $AC$ 上，因此 $\vec{f}$ 也必须在 $BC$ 上。另一方面，由于 $DE$ 与 $BC$ 平行，所以 $\vec{f}$ 必须在 $DE$ 上。因此，$\lambda$ 必须满足以下条件：
$$\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}+\lambda(\vec{d}-\vec{e})-\vec{d}=\mu(\vec{e}-\vec{d})$$
$$\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}+\lambda(\vec{d}-\vec{e})-\vec{e}=\nu(\vec{d}-\vec{e})$$
其中 $\mu$ 和 $\nu$ 是实数。解这个方程组，可以得到 $\lambda=\frac{1}{2}$，$\mu=-\nu=-\frac{1}{2}$。因此，$F$ 的位置向量为：
$$\vec{f}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}+\frac{1}{2}(\vec{d}-\vec{e})=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$$
即 $F$ 是 $BC$ 的中点，证毕。