直线是几何学中的基本概念，它是由一组无限多的点组成的，这些点在同一平面上且无限延伸。直线上的任意两点都可以用直线上的其他任意点来唯一确定。 直线的定义可以总结为以下几点： 1、直线是由一组无限多的点组成的。 2、这些点在同一平面上。 3、直线在两个方向上都无限延伸。 在几何学中，直线用一对箭头或两个...
毕氏定理（又称勾股定理）是几何学中的一个基本定理，它描述了直角三角形的三条边之间的关系。以下是毕氏定理的详细解释： 定义：对于一个直角三角形，设它的两条直角边长度分别为$a$和$b$，斜边长度为$c$，则有$a^2+b^2=c^2$。 证明：有多种证明方法，其中一种常用的方法是基于面积的证明。具体地...
卡拉比猜想（Calabi conjecture）是一条关于几何分析的著名猜想，由意大利数学家尤金尼奥·卡拉比（Eugenio Calabi）在1950年代提出。这个猜想涉及到 Kähler 流形的黎曼几何与复几何的关系，特别是关注 Ricci 曲率为零的 Kähle...
扇形的侧面积指的是扇形所在的立体图形的侧面积，通常用于计算圆锥、圆柱等几何体的侧面积。 假设扇形的半径为 $r$，弧长为 $l$，圆心角为 $\theta$（单位为弧度），则扇形的侧面积公式为： $$A = \dfrac{1}{2}rl$$ 其中，$l = r\theta$ 为扇形的弧长。...
等边三角形是一种特殊的等边多边形，它具有非常高的对称性。在等边三角形中，任意两边都相等，任意两角也相等。由于其对称性，等边三角形在几何学和数学中有很多有趣的性质和应用。 等边三角形是一种特殊的三角形，具有以下特点： 1、三边长度相等：等边三角形的三条边的长度都相等，即三边等长。 2、三个角度均相等：...
三角形法则（Triangle Law）通常用于向量的加法和减法。它描述了两个向量之和的几何构造，如下所示： 给定向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的和 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ 可以通过以下步骤进行构造： 1、将向量 $\vec{a}$ 作为起始...
切割线定理（又称弦割定理）是平面几何中的一个基本定理，它描述了一条直线如何切割一个圆，并给出了切点处弦的长度与切割线段两端点到圆心的距离之积相等的关系。 具体来说，设直线 $AB$ 与圆 $O$ 相交于点 $C$ 和点 $D$，其中点 $D$ 在点 $C$ 的同侧，$OA$ 和 $OB$ 分别为圆心...
奥尔定理（Aurea proportion）也称黄金分割定理，是一条重要的几何学定理，用于描述黄金矩形的几何性质。黄金矩形是指宽和高之比等于黄金分割比例$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$的矩形。 具体来说，奥尔定理指出：对于任意一个黄金矩形，将其正方形部分的边长作为新的正方...
阿基米德中点定理（Archimedes' midpoint theorem）是一条几何定理，描述了三角形中线和中点的关系。具体地说，它指出，如果 $ABC$ 是一个三角形，$D$ 和 $E$ 分别是 $AB$ 和 $AC$ 的中点，那么 $DE$ 与 $BC$ 的交点 $F$ 将 $BC$ 分成两个...
三角形中线定理（Triangle Midline Theorem）是一个关于三角形中线的基本几何定理。中线是连接三角形一顶点和对边中点的线段。 三角形中线定理陈述如下： 在一个三角形中，任意一条中线平行于对边，并且等于对边长度的一半。 用数学符号表示，设三角形ABC的顶点分别为A、B、C，D是BC边...
三角形是平面几何中最简单的多边形之一，由三条边和三个顶点组成。三角形的定义是：三条边之间形成的闭合图形，其中每条边都连接两个顶点，且每个顶点都连接两条边。 三角形的性质和特点： 1、三角形有三条边和三个内角，总和为180度（$\pi$弧度）。 2、三角形的三个内角分别用大写字母 A、B 和 C 表示...
戴维南定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了一个三角形内接圆的半径与三角形的面积和边长的关系。 具体地说，设 $ABC$ 为一个三角形，它的内切圆半径为 $r$，则有： $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$ 其中 $S$ 为三角形的面积，$a$、$b$、$c$ 分别为三角形的三条边长。 ...
阿贝尔曲线定理是代数几何中的一条基本定理，描述了代数曲线的交点与代数性质之间的关系。 具体来说，对于代数曲线 $C$，其射影平面上的交点群可以定义为由所有的 $C$ 的不可约分支和它们的交点（包括无穷远点）组成的自由阿贝尔群。那么阿贝尔曲线定理就是指出这个交点群是有限生成的，并且可以通过代数方式来描...
体积公式 立方体：$V = a^3$，其中 $a$ 为边长。 正方体：$V = a^3$，其中 $a$ 为边长。 直方体：$V = lwh$，其中 $l$、$w$、$h$ 分别为长、宽、高。 圆柱体：$V = \pi r^2 h$，其中 $r$ 为底面半径，$h$ 为高。 圆锥体：$V = \fra...
伦敦第一定理（London's first theorem）是由英国数学家伦敦（John Horton Conway London）于1964年提出的，也被称为“簇分解定理”（decomposition theorem for algebraic varieties）。 该定...
中位线定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了一个三角形中一条边上的中线长度与该边所对的角平分线长度相等。 具体来说，设三角形 $ABC$ 中，$AM$ 为边 $BC$ 的中线，$AD$ 为角 $A$ 所对的角平分线，则有： $$AM = \frac{1}{2} BC = BD$$ 其中，$D$ 为...
陈不变量（Chern Invariant）是在微分几何和拓扑学领域中的重要概念，由中国数学家陈省身（Shiing-Shen Chern）首次引入。陈不变量与陈类（Chern class）紧密相关，陈类是复向量丛（complex vector bundle）的一种拓扑不变量。陈不变量通常用于研究拓扑空...
梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）是一个在平面几何中广为人知的定理，用于描述三角形内的三条直线相交的情况。 梅涅劳斯定理的表述为：给定三角形ABC和交于D、E、F的三条不重合的直线，则有 $$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF...
蝴蝶定理（Butterfly theorem）是一个与几何学中的切线和弦相关的定理。它是关于平面几何中经过两个相交弦的中点的切线的性质的一个结论。这个定理得名于形状类似于蝴蝶翅膀的图形。 蝴蝶定理的陈述如下： 给定一个圆，取圆上任意两条相交的弦AB和CD。设E和F分别是AB和CD的中点。现在，我们选...
弦切角定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了两条相交弦所夹角的大小与其所对的弧的大小的关系。 具体来说，设圆 $O$ 为一个圆，$AB$、$CD$ 为它的两条相交弦，它们的交点为 $P$，则 $\angle APB$ 与 $\angle CPD$ 的大小相等，并且它们所对的圆周弧的大小也相等。 弦...