二倍角公式是指将一个角的角度加倍所得到的角的正弦、余弦、正切值与原角的正弦、余弦、正切值之间的关系式。设角 $\theta$ 的正弦、余弦、正切值分别为 $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$，则该角的二倍角的正弦、余弦、正切值可以表示为： $$\sin ...
扇形是指由圆心和圆上两点所确定的圆弧以及它们之间的弦所组成的图形。扇形面积公式是指计算扇形面积的公式。设扇形的半径为 $r$，圆心角为 $\theta$，则扇形的面积可以表示为： $$S=\frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2$$ 其中，$\theta$ 以弧度为单位表示圆...
圆是平面上到一个定点距离相等的所有点的集合。圆的面积计算公式是指计算圆面积的公式。设圆的半径为 $r$，则圆的面积可以表示为： $$S=\pi r^2$$ 其中，$\pi$ 是一个常数，约等于 $3.14159$，它是圆的周长与直径的比值。 圆的面积计算公式可以用于计算任意大小的圆的面积，从而在数学...
弧长计算公式是指求一条光滑曲线的弧长的公式。设曲线为 $C$，参数方程为 $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，则该曲线的弧长 $s$ 可以表示为： $$s=\int_a^b |\mathbf{r}'(t)| dt=\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2+(y'...
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式是关于 Sobolev 空间的一种不等式，它是 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式的一个推广。设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个开集，$1<p,q<n$，$0<\alp...
Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是一类重要的函数不等式，用于描述函数空间中的正函数。它的一般形式可以写成以下公式： $$\int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\nabla u(x)|^p}{|x|^{\alpha p}},dx \leq C \int_{\mat...
反幂平均不等式（Reverse Power Mean Inequality）是幂平均不等式的一个推广。设 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是 $n$ 个正实数，$p$ 是一个实数且 $p > 0$，则反幂平均不等式可以表示为： $$\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1...
反伯努利不等式（Reverse Bernoulli's inequality）是伯努利不等式的一种推广。设 $x$ 是一个实数，且 $n$ 是一个正整数且 $n\geq 2$，则反伯努利不等式可以表示为： $$(1+x)^{-n} \geq 1 - nx$$ 等号成立当且仅当 $x=0$。 反伯努利...
伯努利不等式（Bernoulli's inequality）是一种用于计算幂次方的不等式。设 $x$ 是一个实数，且 $n$ 是一个正整数，则伯努利不等式可以表示为： $$(1+x)^n \geq 1 + nx$$ 等号成立当且仅当 $x=0$ 或 $n=1$。 伯努利不等式是一种基本的不等式，在各...
闵可夫斯基不等式（Minkowski's inequality）是一种用于计算多个实数的和的不等式。设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是 $2n$ 个实数，则闵可夫斯基不等式可以表示为： $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i...