Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是一类重要的函数不等式，用于描述函数空间中的正函数。它的一般形式可以写成以下公式：
$$\int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\nabla u(x)|^p}{|x|^{\alpha p}},dx \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |u(x)|^q,dx,$$
其中，$u$ 是正函数，$p > 1$，$q > 1$，$\alpha > 0$，$\nabla$ 表示梯度算子，$C$ 是一个与 $u$ 无关的常数。
这个不等式的意义是，在满足一定条件的情况下，函数在无穷远处的奇异性越小，就越容易在函数空间中有较好的估计。它在偏微分方程理论和调和分析中有广泛的应用。