狄利克雷函数（Dirichlet function）：是一个在有理数集合上为1，在无理数集合上为0的函数。这个函数由德国数学家彼得·古斯塔夫·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）在19世纪提出，被认为是数学中最神奇的函数之一。 狄利克雷...
拉格朗日量是物理学中一个非常重要的概念，它是用来描述系统在不同状态下的能量和运动规律的函数。在数学上，拉格朗日量通常写作L(q, q', t)，其中q表示系统的广义坐标，q'表示广义坐标的时间导数，t表示时间。拉格朗日量可以通过定义系统的动能和势能来构建，一般形式如下： L(q, q', t) = ...
以下是一些常用的三角函数积分公式： $\int \sin x dx = -\cos x + C$ 该公式表示对正弦函数进行积分，其结果为负的余弦函数加上常数项。 $\int \cos x dx = \sin x + C$ 该公式表示对余弦函数进行积分，其结果为正的正弦函数加上常数项。 $\int \...
常数函数：$y = c$ 的导数为 $f'(x) = 0$。 幂函数：$y = x^n$ 的导数为 $y' = nx^{n-1}$，即 $f'(x) = nx^{n-1}$。 指数函数：$y = a^x$（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$）的导数为 $y' = a^x \ln a...
对于一元二次函数 $f(x) = ax^2+bx+c$，其求根公式可以通过求解方程 $ax^2+bx+c=0$ 得到。该方程的求根公式为： $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 其中，$a,b,c$ 分别为二次函数的三个系数，$\pm$ 表示可以取正号或负号。 如果判...
对于偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$，表示在 $y_0$ 不变的情况下，函数在 $x_0$ 处关于 $x$ 的变化率，计算公式如下： $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \t...
函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。如果函数关于原点对称，则称其为奇函数；如果函数关于 y 轴对称，则称其为偶函数。 具体而言，函数的奇偶性可以通过以下公式进行判断： 对于函数 y = f(x)，如果对于任意的 x ∈ 定义域 D，有 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 是奇...
幂函数是一类常见的数学函数，它的定义形式为： $$f(x) = x^a$$ 其中，$x$ 是自变量，$a$ 是常数，称为幂指数。幂函数是以自变量的幂指数为变化规律的函数。 幂函数可以分为几种特殊情况： 当$a$为正整数时，幂函数是一个多项式函数，例如：$f(x) = x^2$是一个抛物线函数，$f(...
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将一个信号（通常是一个函数）分解成正弦和余弦波的数学技术。傅里叶变换有多种形式，其中最常见的是连续时间傅里叶变换（CTFT）和离散时间傅里叶变换（DTFT）。以下是这两种变换的公式： 连续时间傅里叶变换（CTFT）： $$\mathcal{F}\...
在数学中，常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数f(x)=4，因为f映射任意的值到4，因此f是一个常数。更一般地，对一个函数f: A→B，如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一个常数函数。 请注意，每一个空函数（定义域为空集的函数...
对于多元函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，其在某个点 $(x_{1,0}, x_{2,0}, ..., x_{n,0})$ 处的导数可以用梯度和海森矩阵进行表示。 梯度：梯度是一个向量，表示函数在某个点处增加最快的方向和速率。梯度可以用偏导数表示，计算公式如下： $$\nabla...
行列式是线性代数中一个重要的概念，表示一个方阵的特定函数，用于求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性等。对于一个n阶矩阵A，它的行列式记为det(A)或|A|，可以使用以下公式进行计算： $$det(A) = \sum_{j_1=1}^{n} (-1)^{i_1+j_1}a_{i_1,j_1} \be...
函数的单调性是指函数在其定义域内的增减性质，即函数值随自变量增大或减小时的变化情况。如果函数在其定义域内满足单调递增，那么其函数值随自变量的增大而增大；如果函数在其定义域内满足单调递减，那么其函数值随自变量的增大而减小。 具体而言，函数的单调性可以通过以下公式进行判断： 1、对于函数 y = f(x...
标准正态分布的概率密度函数公式为： $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ 其中，$\pi$ 是圆周率，$e$ 是自然常数，$x$ 是随机变量的取值，$f(x)$ 是 $x$ 对应的概率密度值。...
巴拿赫不动点定理（Banach fixed-point theorem），也叫压缩映像原理，是函数分析学中的一条基本定理，用于证明完备度量空间上压缩映射存在唯一不动点的存在性和稳定性。 该定理的内容是：设 $(X,d)$ 是一个完备的度量空间，$T:X\to X$ 是一个压缩映射，即存在 $0\le...
$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$$
卷积公式是指两个函数在某个区间上的积分，用来描述两个信号之间的关系。 其中，$f$ 和 $g$ 为两个函数，$*$ 表示卷积操作，$t$ 为积分变量，$\tau$ 为积分下限变量。...
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。 高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函...
公式一 公式二 sin（2kπ+α）=sin α cos（2kπ+α）=cos α tan（2kπ+α）=tan α cot（2kπ+α）=cot α sec（2kπ+&a...
在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对∠BAC而言，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC，则存在以下关系： 基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述...
泊松分布的概率质量函数公式为： $$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$ 其中，$X$ 为服从泊松分布的随机变量，$\lambda$ 为其均值和方差。...