以下是华罗庚在数学领域最具代表性的十个定理或理论成果，涵盖了数论、代数几何、多复变函数等多个方向：
领域：解析数论
核心贡献：解决了高斯完整三角和的估计难题，推广了高斯和的研究。该定理证明了对于任意整系数多项式 $ f(x) $ 和正整数 $ q $，若最大公约数条件满足，则三角和的误差主阶为 $ O(q^{1-1/k+\varepsilon}) $，这一结果被国际数学界称为“臻于至善”，无法进一步优化。
领域：射影几何
核心贡献：证明了一维射影几何的基本定理，即射影变换的结构由其不变性决定。这一成果简化并推广了前人工作，成为射影几何的经典基础。
领域：环论与代数结构
核心贡献：证明了除环的半自同构必为自同构或反自同构，推翻了此前开普朗斯基的复杂限制条件，提供了一个简洁而直接的证明。
领域：数论
核心贡献：推广了高斯和的研究，建立了更一般的指数和估计方法。这一成果直接推动了解析数论中许多问题的突破，例如对二次互反律的推广。
领域：代数几何
核心贡献：通过加法和乘法运算构造新的代数曲线，揭示了其几何性质。该定理在代数几何与拓扑学中具有重要应用价值。
领域：数值分析与应用数学
核心贡献：提出多重积分近似计算的新方法，结合数论技巧与数值积分技术，显著提高了计算效率。该方法被广泛应用于工程与科学计算中。
领域：解析数论
核心贡献：基于华氏定理，推广了希尔伯特-华林定理的适用范围，证明了更广泛的不定方程 $N = f1(x1) + \dots + fs(xs)$在特定条件下有非零解，并给出了渐近解数公式。
领域：多复变函数
核心贡献：系统研究了典型域上的调和分析，结合群表示论与矩阵技巧，给出了柯西核和泊松核的精确表达式。相关专著《多个复变典型域上的调和分析》获中国自然科学奖一等奖。
领域：代数与解析数论
核心贡献：深入研究典型群的结构及其在自守函数中的应用，发展了矩阵几何学，推动了数论与表示论的交叉研究。
领域：应用数学与工农业实践
核心贡献：将数学理论应用于实际问题，提出了统筹法与优选法（“双法”），通过优化资源配置和决策流程，显著提升了生产效率。相关著作《统筹方法平话》《优选学》至今仍具指导意义。
华罗庚的学术成就不仅体现在定理本身，还在于他开创性的研究方法和跨学科融合能力。例如，《堆垒素数论》系统整合了圆法与三角和估计，奠定了现代解析数论的基础；他对多复变函数的研究则直接影响了后续调和分析的发展。他的工作始终以“理论联系实际”为核心理念，为中国数学的现代化作出了不可替代的贡献。