柯西-施瓦茨不等式是高等数学中比较基础的不等式之一，它是由物理学家柯西和数学家施瓦茨分别独立发现的。柯西-施瓦茨不等式可以用于证明一些数学定理，例如在线性代数中矩阵内积的范数不等式等。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）是柯西不等式的一个推广，它描述了两个向量之间内积的绝对值的上界。
柯西-施瓦茨不等式可以表示为：
设 $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 和 $\vec{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ 是 $n$ 维实数向量，则有：
$$|\vec{x} \cdot \vec{y}| \leq |\vec{x}| |\vec{y}|$$
其中 $\vec{x} \cdot \vec{y}$ 表示 $\vec{x}$ 和 $\vec{y}$ 的内积，$|\vec{x}|$ 和 $|\vec{y}|$ 分别表示 $\vec{x}$ 和 $\vec{y}$ 的范数。等号成立当且仅当 $\vec{x}$ 和 $\vec{y}$ 线性相关。
柯西-施瓦茨不等式在许多领域中都有广泛的应用，例如：
线性代数：证明向量的内积定义了一个内积空间；
实分析和复分析：证明各种积分的 Cauchy 主值存在等；
概率论和统计学：证明相关系数的绝对值不大于 $1$；
信号处理和通信：证明信号的相干性有限制等。
柯西-施瓦茨不等式也可以用来证明柯西不等式。