刘维尔定理是概率论中的一个重要定理，描述了两个独立事件的联合概率的乘积等于它们各自的概率的乘积。具体来说，设事件A和事件B是两个独立事件，则它们的联合概率为： $$$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ 其中，$P(A)$表示事件A的概率，$P(B)$表示事件B的概率，$...
燕尾定理是统计学中的一个重要定理，它描述了一个概率分布的极端值的概率大小。具体来说，对于任何具有有限方差的概率分布，其标准化样本平均数减去总体均值后再除以样本标准差的值大于等于k的概率不超过1/k²，即： $$P\left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \ge k ...
张角定理是概率论中的一个重要定理，描述了在一个随机实验中，至少有一次事件发生的概率。具体地说，对于一个随机实验，设事件A的概率为p，则n次试验中至少有一次事件A发生的概率为： $$P(\text{至少有一次A发生}) = 1 - (1-p)^n$$ 这个定理可以解决很多概率问题，例如在进行多次试验的...
诺顿定理是电路理论中的一个重要定理，它描述了一个线性电路在两个端口之间的等效电流源和电阻的关系。具体地说，假设一个线性电路在两个端口之间的等效电流源为In和等效电阻为Rn，则这个电路可以等效为一个电流源In和电阻Rn串联的电路。这个定理可以用如下的数学公式来表示： $$I_n = \frac{V_{...
大数定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在独立重复试验中，随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值的概率。具体地说，设X1，X2，...，Xn是从同一总体分布中独立地随机取出的n个样本，它们的均值为： $$\bar{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_...
海涅定理是数论中的一个重要定理，它描述了模意义下的平方剩余和二次非剩余的性质。具体地，对于一个奇素数p和任意一个整数a，我们有： 1、如果a是p的二次剩余，那么a的模p平方根的数量等于p的一半； 2、如果a是p的二次非剩余，那么a的模p平方根不存在。 换句话说，如果a是p的二次剩余，那么a在模p意义...
微积分基本定理是微积分学中的重要定理之一，它将微积分中的微分和积分联系了起来。 第一部分是微积分中的牛顿-莱布尼茨公式，也称为第一基本定理，它表明如果一个函数f(x)在区间[a,b]上是可积的，那么它在这个区间上的定积分可以通过在这个区间上求f(x)的一个原函数F(x)，然后用F(b)-F(a)计算...
梯形中位线定理是指在一个梯形中，它的两条平行边的长度分别为a和b，而它的两条非平行边的长度分别为c和d，那么该梯形的中位线长e等于它的平行边长度之和的一半，即： e = (a + b) / 2 这个定理可以帮助我们在已知梯形的两条平行边长度和中位线长度时，求出其余两条边的长度。它也可以应用于解决一些...
正余弦定理是指在任意三角形中，三条边之间的关系可以用余弦定理和正弦定理来表示。 余弦定理是指在一个三角形ABC中，假设a、b、c分别是三角形的三边长度，C为夹角，则有以下公式： $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$$ 正弦定理是指在一个三角形ABC中，假设a、b、c分别是三...
三角形中线定理（Triangle Midline Theorem）是一个关于三角形中线的基本几何定理。中线是连接三角形一顶点和对边中点的线段。 三角形中线定理陈述如下： 在一个三角形中，任意一条中线平行于对边，并且等于对边长度的一半。 用数学符号表示，设三角形ABC的顶点分别为A、B、C，D是BC边...