$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$$
分部积分公式是微积分中的一种常用积分方法，用于求解由两个函数的乘积组成的积分。 其中 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个可导函数，$u'(x)$ 和 $v'(x)$ 分别是它们的导数。 使用分部积分公式时，首先需要选择一个函数作为 $u(x)$，另一个函数的导数作为 $v'(x)$。接着，将上述...
狄利克雷函数是指两个不同数论函数的混合函数。 狄利克雷函数的二元形式定义如下： $$\begin{aligned} D(x,y) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)\sin(ny)}{n} \\ &= \frac{1}{2} \left( \fr...
设首项为 $a_1$，公比为 $r$，则等比数列的通项公式为 $a_n=a_1r^{n-1}$。 设等比数列的前 $n$ 项和为 $S_n$，则有： $$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$ 将通项公式 $a_n = a_1 r^{n-1}$ 代入上式得： ...
对于奇数求和，我们可以考虑前 $n$ 个奇数的和。前 $n$ 个奇数可以表示为 $1, 3, 5, \dots, 2n - 1$。 求和公式如下： $$S_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)$$ 可以发现奇数和的结果总是一个完全平方数。通过观察前几个奇数和，我们可以找到...
累加公式是指用于计算一系列数字和的公式。 以下是一些常见的累加公式： 等差数列求和公式：对于等差数列 $a_1, a_2, \dots, a_n$，其求和公式为 $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$ 其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和，$a_1$ 是首项，$a_n$ ...
卡拉比猜想（Calabi conjecture）是一条关于几何分析的著名猜想，由意大利数学家尤金尼奥·卡拉比（Eugenio Calabi）在1950年代提出。这个猜想涉及到 Kähler 流形的黎曼几何与复几何的关系，特别是关注 Ricci 曲率为零的 Kähle...
丘成桐猜想（Yau conjecture）是由中国数学家丘成桐（Shing-Tung Yau）提出的一系列猜想。其中最著名的是关于某些复代数簇的均值不等式。丘成桐猜想对于解决几何分析和代数几何中的一些重要问题具有指导意义。需要注意的是，丘成桐猜想不止一个，下面介绍一个猜想实例。 丘成桐猜想之一，关于...
陈不变量（Chern Invariant）是在微分几何和拓扑学领域中的重要概念，由中国数学家陈省身（Shiing-Shen Chern）首次引入。陈不变量与陈类（Chern class）紧密相关，陈类是复向量丛（complex vector bundle）的一种拓扑不变量。陈不变量通常用于研究拓扑空...
陈景润（Chen Jingrun）是一位杰出的中国数学家，在数论领域有着重要贡献。陈-高定理（Chen-Gao theorem）又称为陈氏定理或陈景润定理，是陈景润在1966年证明的一条关于素数和的定理。这个定理关注了 Goldbach 猜想的一个变种，即每一个偶数都可以表示为两个素数之和。 陈景润...
设我们要求连续 n 个偶数的和。我们可以用一个通项公式来表示这些偶数。连续的偶数序列可以表示为： $a_n = 2k$，其中 $k \in \mathbb{Z}$，即 k 为整数。 我们要求从第一个偶数开始的连续 n 个偶数的和，即求和公式为： $S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i =...