反函数公式

反函数公式是指将一个函数 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 的导数表示为原函数 $f(x)$ 的导数的倒数的公式。具体来说，如果 $f(x)$ 在某个区间上是单调且可导的，那么它的反函数 $f^{-1}(x)$ 的导数可以表示为：

$$\frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

其中，$f'$ 表示 $f(x)$ 的导数。

反函数公式的证明可以使用链式法则。设 $y = f(x)$，则有 $x = f^{-1}(y)$，由链式法则有：

$$\frac{d}{dy} x = \frac{d}{dx} f^{-1}(y) \cdot \frac{d}{dy} f(x)$$

将 $x = f^{-1}(y)$ 代入上式，得到：

$$\frac{d}{dy} f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

这就是反函数公式。

反函数公式在微积分中有广泛的应用，它可以用于计算反三角函数的导数，以及求解隐函数的导数等问题。