克劳修斯-克列姆定理（Cramer's rule）是在线性代数中用于解决线性方程组的一种方法，可以用于求解未知数个数等于方程组个数的线性方程组。该定理由瑞士数学家克劳修斯（Gabriel Cramer）和德国数学家克列姆（Eduard Kraemer）在18世纪独立发现并得以公式化。
假设有$n$个未知数和$n$个方程，线性方程组可表示为：
$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1$
$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2$
...
$a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n$
其中，$a_{ij}$和$b_i$为已知常数，$x_i$为未知数。
令$A$表示系数矩阵，$X$表示未知数列向量，$B$表示常数列向量，则线性方程组可以写成以下矩阵形式：
$AX=B$
克劳修斯-克列姆定理给出了解决这个线性方程组的方法。具体来说，对于方程组$AX=B$，如果系数矩阵$A$的行列式$|A|$不为零，则该方程组有唯一解，可以用以下公式求解：
$x_i=\frac{|A_i|}{|A|}$
其中，$|A_i|$表示将系数矩阵$A$的第$i$列替换为常数列向量$B$后得到的行列式，$|A|$表示系数矩阵$A$的行列式。
需要注意的是，如果系数矩阵$A$的行列式为零，则方程组可能无解或有无穷解。