三角形法则(Triangle Law)通常用于向量的加法和减法。它描述了两个向量之和的几何构造,如下所示: 给定向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$,它们的和 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ 可以通过以下步骤进行构造: 1、将向量 $\vec{a}$ 作为起始...

格林公式(Green's theorem)是一个与向量场和曲线积分有关的重要公式,它将曲线积分与双重积分联系起来。在平面上,格林公式的形式为: $$\oint_C (P,dx + Q,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{...

矩阵运算是指对矩阵进行的各种数学运算,包括加减乘除、求逆矩阵、转置、行列式、特征值、特征向量等。 以下是一些常见的矩阵运算: 矩阵加法:对应元素相加,得到同型矩阵。 矩阵减法:对应元素相减,得到同型矩阵。 矩阵数乘:矩阵中每个元素乘以一个常数。 矩阵乘法:对于一个m×n的矩阵A和一个n&...

在一个向量空间V中,如果有一个子空间W,那么任意一个向量v都可以表示为两个部分的和:一个在子空间W中的向量w和一个在W的补空间中的向量p。即:v=w+p,其中w∈W,p∈W的补空间。 这个定理也可以表示为:V可以表示为W和W的补空间的直和,即V=W⊕(W的补空间)。 ...

陈不变量(Chern Invariant)是在微分几何和拓扑学领域中的重要概念,由中国数学家陈省身(Shiing-Shen Chern)首次引入。陈不变量与陈类(Chern class)紧密相关,陈类是复向量丛(complex vector bundle)的一种拓扑不变量。陈不变量通常用于研究拓扑空...

向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 平行当且仅当它们成比例,即存在一个实数 $k$ 使得 $\vec{a} = k\vec{b}$,可以表示为: $$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = k\vec{b}$$ 向量 $\vec{a}$ 和...

向量运算是指对向量进行各种操作的过程,主要包括向量的加减法、数量积、向量积、混合积等。 向量加减法 向量加减法规定了如何对两个向量进行相加或相减。设有两个向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$,$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$,则它们的和为$\vec{a}+\vec{b}=...

向量的模长:$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}$ 向量的点积:$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 向量的叉积(仅适用于三维向量):$\vec...

向量加法公式: $\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)$ 向量减法公式: $\vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3)$ 数量乘法公式: $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, k...